(1)

dabei ist die Lichtintensität in der Fokalebene des Teleskops als Funktion der zweidimensionalen Winkelkoordinate , der Wellenlänge des Lichts, dem Durchmesser des Teleskopspiegels D und der so genannten Besselfunktion J₁. Das erste Minimum (dunkler Ring) befindet sich in einem Winkelabstand von 1.22 /D zum Zentrum hin. Dieser Abstand wird oft als ein Maß für die kleinste Winkelauflösung des perfekten Teleskops genommen.

Das bisher gesagte galt für das ideale Teleskop. Kann das Teleskop nicht im Idealzustand betrieben werden, dann ändert sich das Bild einer Punktquelle so, daß die Winkelauflösung schlechter wird als durch die Airy Funktion gegeben. Gleichung (2) gilt weiterhin allerdings mit einer anderen PSF P(). Die Breite der PSF ist ein Maß für die Winkelauflösung.

Hinweis 1: Implizit wurde angenommen daß P() das Bild eines Sterns mit Einheitsintensität ist, d.h. das Integral von P() über

alle ergibt 1. Gleichung (2) konserviert den Gesamtfluß eines astronomischen Objekts, verteilt ihn aber unterschiedlich auf die einzelnen Pixel.

Hinweis 2: Es wurde angenommen, daß die PSF die gleiche Form über das gesamte Bildfeld besitzt. Dieser Zustand wird als Isoplanarität (isoplanatism) bezeichnet. Die Isoplanarität ist insbesondere bei der Benutzung einer Adaptiven Optik auf sehr kleine Bildfelder beschränkt; über größere Bildfelder gibt es eine langsame Veränderung der PSF. In diesem Fall kann Gleichung (2) über kleinere Teile des ganzen Bildfeldes angewandt werden.

1. FWHM = Die Breite der PSF an der Stelle wo die Intensität 50% des Maximums beträgt (Full Width at Half Maximum).

Das Beispiel einer am CFHT 3.6-m Teleskop gemessen PSF im I-Band (0.8µm) mit aktivierter Adaptiver Optik (PUEO) zeigt das nächste Bild.

Frage: Wie groß ist die Strehl-Zahl eines perfekten Teleskops bei der Wellenlänge wenn eine Hälfte des Hauptspiegels um /4 tiefer liegt als die andere Hälfte.

(3)

In dieser Gleichung bezeichnet die Raumfrequenz (wird beispielsweise in Radian gemessen, dann wird in 1/Radian oder Zyklen pro Radian angegeben). nennt man die optische Übertragungsfunktion (OTF) des Systems (Teleskops). Sie beschreibt die Änderung der Modulation (Kontrast) und der Phase des fouriertransformierten Objekts im Prozess der Bildentstehung. Die OTF ist im allgemeinen eine komplexe Funktion. Der Absolutbetrag der OTF heißt Modulationsübertragungsfunktion (MTF). Allgemein gilt:

OTF = MTF x e^iPTF (4)

mit der Phasenübertragungsfunktion PTF. Da die OTF die Intensitätsverteilung des Objekts auf die des Bildes überträgt, kann ihr Absolutbetrag nie größer als 1 sein, da keine Information aus dem Nichts heraus erzeugt werden kann.

Für jedes optische System gilt für Raumfrequenzen größer einer bestimmten Abschneidefrequenz . Für ein Teleskop mit Spiegeldurchmesser D gilt f_c = D/. Dies bedeutet, dass Raumfrequenzen größer als f_c nicht beobachtet werden können und nur größere Teleskope feinere Details bzw. kleinere Objekte abbilden können.

Die Relation zwischen der PSF und der OTF ist durch die Fouriertransformation bestimmt. Kennt man die eine Funktion kennt man auch die andere; die Information die beide Funktionen enthalten werden eben nur unterschiedlich dargestellt.

Weiterhin gilt (vergleiche mit der PSF Normalisierung). Die Strehl-Zahl ist proportional zum Integral der OTF über alle Raumfrequenzen.

Frage: Was ist die minimale Größe eines Teleskops um ein 10 cm großes Gitter in 5 km Abstand aufzulösen?

Die langbelichtete (Long Exposure) OTF, , ist das Produkt der atmosphärischen Übertragungsfunktion und der OTF des Teleskops . Für große Teleskope mit guter optischer Qualität ist die kleinste Winkelauflösung durch die Atmosphäre limitiert, d.h. =1 und . Durch Fouriertransformation von erhält man die langbelichtete PSF.

Die atmosphärische OTF ist verknüpft mit der Statistik der atmosphärischen Phasenstörungen, der so genannten Phasenstrukturfunktion , über:

(6).

Hinweis: In dieser Formel geht man über von dreidimensionalen Raumkoordinaten in der Ebene der Wellenfront auf Raumfrequenzen in der Bildebene multipliziert mit der Wellenlänge. Diese Relation folgt aus der Wellenoptik: jede Fourierkomponente eines Bildes entsteht aus der Interferenz von Lichtwellen, die um einen gewissen Abstand separiert sind. Dieses Prinzip gilt sowohl für Radio- als auch optische Interferometer.

Frage: Ist die Form der atmosphärischen PSF sensitiv in den Bereichen und ?

Die Luft ist für Wellenlängen > 500nm nur schwach dispersiv. Dies wird hier nicht weiter beachtet und die Phasenstörungen - charakterisiert durch Änderungen der optischen Weglänge - achromatisch behandelt. Dagegen ist die Phase der elektromagnetischen Welle natürlich Wellenlängenabhängig:

(7)

Wir nehmen an, dass für die hier betrachteten statistischen Störungen (Phasenstörungen, Temperaturstörungen, Druckstörungen) der jeweilige räumliche Mittelwert (durch eckige Klammern gekennzeichnet) Null ist, also z.B. für die Phasenstörungen gilt.
Obwohl statistische Prozesse wie oft durch Korrelationsfunktionen oder durch Kovarianzen beschrieben werden, arbeitet man in der atmosphärischen Wissenschaft bevorzugt mit Strukturfunktionen. Die Strukturfunktion, ein Konzept entwickelt von Andrei Kolmogorov 1941, beschreibt hier die räumlichen Eigenschaften des turbulenten Mediums. Dies geschieht indem die mittlere Differenz des statistischen Prozesses an zwei Orten bestimmt wird:

(8)

Frage: Was ist der Zusammenhang zwischen Strukturfunktion und der Kovarianzfunktion ?

Frage: Wie hängt die atmosphärische Strukturfunktion in Gleichung (8) von der Wellenlänge ab?

(9)

Da die Pfadlänge achromatisch ist, folgt sofort dass ist. Es ist daher wichtig bei Angaben von r₀ immer die Wellenlänge mit anzugeben. Der Parameter r₀ ist eine griffige Messgröße, die die räumliche Stärke der Turbulenz charakterisiert. In diesem einen Parameter stecken alle Brechungsindexvariationen der gesamten Atmosphäre. Kleine Werte von r₀ entsprechen starker Turbulenz, große Werte entsprechend schwacher Turbulenz und gutem Seeing.

Frage: Wenn r₀=15 cm groß ist bei einer Wellenlänge von 0.5 µm, wie groß ist dann r₀ bei einer Wellenlänge von 2.2 µm ?

(10)

Die atmosphärische langbelichtete PSF ergibt sich dann durch eine Fouriertransformation von Gl. 10. Erhält man eine Gauß-Funktion? Weiterhin erhält man einen Zusammenhang zwischen der Halbwertsbreite (FWHM) der atmosphärischen PSF (auch als Seeing bezeichnet) und dem Friedparameter r₀.

FWHM = 0.98/r₀ (11)

Gut zu merken ist, dass man bei einem Seeing von 1 Bogensekunde und einer Wellenlänge von 0.5µm eine FWHM ein r₀ von etwa 10 cm hat.
Wie bereits oben gesagt, ist die Strehl-Zahl der atmosphärischen PSF exakt die gleiche wie für ein ideales Teleskop mit Durchmesser r₀ (daher der Koeffizient 6.88 in Gl. 9. Für ein großes Teleskop mit einem Durchmesser D deutlich größer als r₀, ist die Strehl-Zahl einfach S = (r₀/D)².

Frage: Wie groß ist die Strehl-Zahl einer langbelichteten Punktquelle an einem 4-m Teleskop bei einem Seeing von 1 Bogensekunde bei 0.5 µm und 2.2 µm Wellenlänge?

Der Friedparameter r₀ wird manchmal als charakteristische Länge (Kohärenzlänge, coherence length) der atmosphärischen Störungen bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt: man sieht, dass das Kolmogorov (Leistungs-) Spektrum nur proportional zur Raumfrequenz f^-5/3 ist. Allerdings sind nur Störungen in der Größenordnung von r₀ für die langbelichtete Aufnahme relevant. Auf kleineren Skalenlängen sind die Störungen wesentlich kleiner als die Wellenlänge und auf größeren Skalen wird so groß, dass die atmosphärische OTF null wird.
Die Stärke der turbulenten Fluktuationen des Brechungsindex in der Atmosphäre wird durch eine Brechungsindex-Strukturkonstante angegeben (das Quadrat zeigt hier wieder die mittlere quadratische Differenz wie in Gl. 8 an). Die Einheit von ist m^-2/3. Die Abhängigkeit von von der Höhe der Turbulenz über dem Boden gibt das Turbulenzprofil wieder. Das astronomische Seeing und entsprechend Gl. 11 r₀ hängen vom Integral des Turbulenzprofils wie folgt ab:

(12),

wobei z die Zenitdistanz bezeichnet, h die Höhe über dem Boden und H_max die maximale Integrationshöhe der atmosphärischen Turbulenz (typischerweise ca. 20 km).

Beispiel eines Turbulenzprofils aufgenommen auf dem Cerro Paranal in Chile. Die durchgezogene Linie zeigt in relativen Einheiten. Der bis zur jeweiligen Höhe aufintegrierte Anteil ist durch die gestrichelte Linie gezeigt (50% der gesamten turbulenten Energie liegt in diesem Plot knapp unterhalb von 8km). Zu erkennen ist weiterhin, dass hier ein Großteil der gesamten optischen Turbulenz in zwei Schichten konzentriert ist, eine Nahe dem Boden, die andere zwischen 7-8km. Dennoch ist in etwa 1/3 der gesamten Energie kontinuierlich über alle anderen Höhen verteilt.

Frage: Wie hängen nach Gleichung (12) r₀ und das Seeing von der Zenitdistanz ab.

(13)

mit der über die Höhe gemittelten Windgeschwindigkeit V. Die Zeitkonstante legt damit auch fest, wie schnell eine Adaptive Optik mindestens sein muss.

Astronomische Aufnahmen mit Belichtungszeiten kleiner als die Zeitkonstante werden als kurzbelichtete Aufnahmen bezeichnet, d.h. die zeitlichen optischen Störungen der Atmosphäre sind auf diesen Aufnahmen eingefroren (in englischer Sprache siehe auch Speckle Interferometrie und Photographie). In langbelichteten Aufnahmen werden die atmosphärischen Störungen gemittelt und für Integrationszeiten sehr viel länger als die Zeitkonstante erhält man die langbelichtete PSF.

Kurzbelichtete, instantane atmosphärische Phasenstörungen hängen dagegen von der Beobachtungsrichtung ab. Der Teleskopstrahl (Zylinder) verschiebt sich beispielsweise um 0.5m wenn das Teleskop 10 Bogensekunden zur Seite blickt. Die standard Definition des atmosphärischen isoplanatischen Winkels ist:

(14),

mit einer charakteristischen, mittleren Höhe H. Dabei wird das Turbulenzprofil (h) mit h^5/3 gewichtet. Für typische Turbulenzprofile ergibt sich damit eine mittlere Höhe H von ca. 5 km.

Frage: Wie groß ist der isoplanatische Winkel bei einem Seeing von 1 Bogensekunde für Wellenlängen von 0.5µm und 2.2µm ?

Zernike-Polynome sind in Polarkoordinaten auf einem Einheitskreis definiert (r<1). Sie sind charakterisiert durch eine radiale (n) und azimuthale (m) Ordnung (für ein bestimmtes n, nimmt m Werte von 0 bis n an). Oft wird auch statt der beiden Indizes n und m ein einziger Index j benutzt. Für eine feste radiale Ordnung n gibt es j=(n+1)(n+2)/2 Zernike-Polynome, dabei läuft j von 1 an.

Die ersten Zernike-Funktionen bzw. Zernike-Moden haben Eigennamen wie Piston, Tilt, Astigmatismus, Koma, Sphärische Aberration, Defokus (Tabelle der ersten 15 Zernike-Polynome mit Abbildungen und Formeln).

Ein großer Vorteil der Zernike-Polynome ist ihre Orthogonalität. Dies bedeutet dass das Skalarprodukt (Z_i,Z_j) = 1 ist für i=j und 0 für alle anderen Fälle. Das Skalarprodukt ist definiert über das Integral über die gesamte Teleskopapertur:

(15)

Damit läßt sich nun jede Phasenaberration in der Teleskoppupille als Summe von Zernike-Polynomen darstellen:

(16)

und für die Zernike-Koeffizienten a_j gilt:

(17)

In der Regel reichen bereits wenige Zernike-Moden aus, um eine ausreichend gute Repräsentation der atmosphärischen Aberrationen zu erhalten. Korrigiert man diese, einige 10 bis einige 100 Moden mit Hilfe der Adaptiven Optik, erhält man nahezu beugungsbegrenzte Abbildungen. Der erste Zernike-Mode, Piston, entspricht einer konstanten Phase, welche die Bildqualität nicht beeinflusst; daher wird dieser Mode in der Adaptiven Optik zumeist ignoriert. Er spielt allerdings eine zentrale Rolle in der Interferometrie - auch mit Adaptiver Optik.

Frage: Ein 4-m Teleskop mit einem Öffnungsverhältnis von f/15, ist um 1 mm defokussiert. Wie groß ist der Zernike-Koeffizient a₄?

Frage: Angenommen die atmosphärischen Aberratinen bestehen ausschliesslich aus Tip und Tilt mit jeweils gleicher Stärke . Wie sieht die entsprechende Phasenstrukturfunktion aus?

Die Orthogonalität und auch Orthonormalität der Zernike-Moden erlaubt es die Phasenvarianz über die Pupille zu berechnen. Für einen Mode ist die Phasenvarianz . Die Varianz aller Moden berechnet sich aus der Summe aller quadrierten Koeffizienten beginnend mit j=2, also ohne Piston.

(18)

erhält man nach Wang und Markey (1978), die einen kleinen Fehler in der Berechnung von Noll korrigierten, folgende Kovarianz-Matrix für die Koeffizienten c_ij der ersten 11 Zernike-Moden ohne Piston (i,j=1):

Die Noll Matrix ist keine reine Diagonalmatrix. Das bedeutet, dass redundante Information vorhanden ist und die Zernike-Moden nicht hundertprozentig orthogonal sind. Der Piston Anteil fehlt, da er für Kolmogorov Turbulenz unendlich groß ist. Wie schon vorher gesagt, spielt Piston für die Abbildungsqualität keine Rolle.

Frage: Für ein 4-m Teleskop und unter 1 Bogensekunde Seeing berechne man die rms Amplitude des Tilt-Terms in Einheiten von Radian für eine Wellenlänge von 0.5µm. Wievielen Bogensekunden entspricht dies am Himmel, d.h. um wieviele Bogensekunden scheint sich ein Stern hin- und herzubewegen? Ist diese Bewegung (Tilt) abhängig von der Wellenlänge?

Was passiert wenn die Adaptive Optik nur die ersten j Moden korrigiert? The korrigierten Moden/Koeffizienten werden 0 und die gesamte Varianz der Phase wird kleiner (besser). Bezeichnet die Phasenvarianz gemittelt über die Pupille, gilt:

(19)

wenn die ersten J Zernike-Moden korrigiert werden.
Die gesamte, unkorrigierte Phasenvarianz aller Moden mit Ausnahme von Piston ergibt sich zu Mit anderen Worten, ein Teleskop mit Spiegeldurchmesser r₀ sieht eine atmosphärische Phasenvarianz von einem Quadratradian. Wird die Bildbewegung korrigiert (Tip und Tilt), erhält man eine Restvarianz von Andersherum bedeutet diese Zahl, dass Tip- und Tiltstörungen zu 87% zur gesamten Phasenvarianz beitragen. Werden alle Moden bis zur radialen Ordnung 2 korrigert ist , bei Korrektur bis zur radialen Ordnung 3 verbleibt eine Varianz von Will man die Varianz weiter reduzieren müssen mehr und mehr Zernike-Moden korrigiert werden. Für eine große Zahl korrigierter Moden J mit J>10, kann Nolls asymtotische Formel benutzt werden:

(20).

Wieviele Moden muss man korrigieren? Ein Kriterium um in etwa die Beugungsgrenze zu erreichen ist die Forderung, dass die korrigerte Phasenvarianz kleiner als 1 Quadratradian sein soll. Mit den bisher angegebenen Formeln kann diese Zahl, eine Funktion von Teleskop-durchmesser, Seeing und Wellenlänge berechnet werden. Mit der Forderung = 1 erhält man:

(21)

Frage: Wieviele Zernike-Moden müssen an einem 4-m Teleskop korrigiert werden, um bei einer Beobachtung bei einer Wellenlänge von a) 0.5µm und b) 2.2µm und einem Seeing von 1 Bogensekunde, beugungsbegrenzte Bilder zu erhalten?

Ist es nötig atmosphärische optische Turbulenz mit Zernike-Moden zu korrigieren? Die Antwort ist nein. Phasenstörungen können auch mit einer anderen Funktionsbasis bestimmt und korrigiert werden, oder auch ganz ohne eine Modenzerlegung (lokale Wellenfrontkontrolle). Es zeigt sich aber, dass Zernike-Moden sehr gut geeignet sind atmosphärische Turbulenz zu korrigieren. Ein Modensatz basierend auf so genannten Karhunen-Loève Funktionen zeigt noch ein etwas besseres Verhalten hinsichtlich der Korrektur atmosphärischer optischer Turbulenz. Welche Auswahl letztlich getroffen wird hängt von der Anzahl zu kontrollierenden Parameter (Moden) ab um ein bestimmte Korrekturqualität zu erzielen; für Zernike-Moden ist diese Anzahl kleiner als beispielsweise für eine lokale WellenfrontKorrektur.

Zusammenfassung. In diesem Kapitel wurden einige fundamentale Zusammenhänge der Bildentstehung in einem idealen und in einem aberrierten Teleskop beschrieben (PSF, OTF, Beugungsgrenze, Strehl-Zahl, etc.). Die wichtigsten atmosphärischen Parameter in Bezug auf die Adaptive Optik (Phasenstrukturfunktion, Seeing, Zeitkonstante, isoplanatischer Winkel, etc.) wurden erklärt. Die Entwicklung statistischer Phasenstörungen mit Hilfe von Zernike-Polynomen wurde skizziert. Als letztes Ergebnis kann jetzt die Anzahl der Moden bestimmt werden um eine vorgegebene Bildqualität zu erhalten.